Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и сделать чертеж
y^2=x+1, y=x^2+2*x+1

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$y^2=x+1\ \ \ \ \ \ \ y=x^2+2x+1\ \ \ \ S=?\\y=б\sqrt{x+1} \ \ \ \ y=(x+1)^2\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \ y\geq 0\\y=\sqrt{x+1} \ \ \ \ \ \ \ y=x^2+2x+1\\\sqrt{x+1}=x^2+2x+1\\\sqrt{x+1}=(x+1)^2 \\(\sqrt{x+1})^2=((x+1)^2)^2 \\x+1=(x+1)^4\\(x+1)^4-(x+1)=0\\(x+1)*((x+1)^3-1)=0x+1=0\\x_1=-1\\(x+1)^3-1^3=0\\(x+1-1)*((x+1)^2+(x+1)*1+1^2)=0\\x*(x^2+2x+1+x+1+1)=0\\x*(x^2+3x+3)=0\\x_2=0\\x^2+3x+3=0\\D=-3\ \ \ \ \Rightarrow$

Уравнение не имеет действительных корней.       ⇒

$S=\int\limits^0_{-1} {(\sqrt{x+1} -(x^2+2x+1))} \, dx=\int\limits^0_{-1} {(x+1)^{\frac{1}{2}} -(x^2+2x+1))} \, dx=\\=( \frac{2}{3}*(x+1)^{\frac{3}{2}}-\frac{x^3}{3}-x^2-x)|_{-1}^0=\\=\frac{2}{3} *(0+1)^{\frac{3}{2}}-\frac{0^3}{3}-0^2-0-(\frac{2}{3}*(-1+1)^{\frac{3}{2}} -\frac{(-1)^3}{3} -(-1)^2-(-1))=\\= \frac{2}{3} *1^{\frac{3}{2}} -(- \frac{2}{3}*0^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{3}-1+1)=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$

Ответ: S≈0,3333 кв.ед.