Question

Помогите решить 3 вопрос.Пж

Answer 1

Ответ:

$y=\dfrac{4sin^{2}x-1}{2}$

Пошаговое объяснение:

$y'=(2y+1)ctgx;$

$\dfrac{dy}{dx}=(2y+1)ctgx;$

Разделяем переменные:

$dy=(2y+1)ctgx \ dx;$

$\dfrac{dy}{2y+1}=ctgx \ dx;$

Берём интегралы от обеих частей уравнения:

$\Large \int\ \dfrac{dy}{2y+1}=\int\ ctgx \ dx \ ;$

$\Large \dfrac{1}{2} \int\ \dfrac{d(2y+1)}{2y+1}=\int\ \dfrac{cosx}{sinx} \ dx \ ;$

$\Large \dfrac{1}{2} ln|2y+1|=\int\ \dfrac{d(sinx)}{sinx} \ ;$

$\dfrac{1}{2}ln|2y+1|=ln|sinx|+ln|C|, \ C-const;$

$\dfrac{1}{2}ln|2y+1|=ln|Csinx|, \ C-const;$

$ln|2y+1|=2ln|Csinx|, \ C-const;$

$ln|2y+1|=ln|Csinx|^{2}, \ C-const;$

$|2y+1|=|Csinx|^{2}, \ C-const;$

$2y+1=C^{2}sin^{2}x, \ C-const;$

$y=\dfrac{C^{2}sin^{2}x-1}{2} \ , \ C-const;$

Подставляем значения из условия:

$y \bigg (\dfrac{\pi}{4} \bigg )=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{C^{2}sin^{2} \bigg (\dfrac{\pi}{4} \bigg )-1}{2}=\dfrac{1}{2};$

$C^{2} \cdot \bigg (\dfrac{\sqrt{2}}{2} \bigg )^{2}-1=1;$

$C^{2} \cdot \dfrac{(\sqrt{2})^{2}}{2^{2}}=1+1;$

$C^{2} \cdot \dfrac{2}{4}=2;$

$C^{2} \cdot \dfrac{1}{2}=2;$

$C^{2}=4;$

$C=\pm \sqrt{4} \ ;$

$C=\pm 2 \ ;$

Подставляем значение константы:

$y=\dfrac{(\pm 2)^{2}sin^{2}x-1}{2} \Rightarrow y=\dfrac{4sin^{2}x-1}{2} \ ;$

Answer 2

Ответ:      у = 2sin²х - 0,5 .

Пошаговое объяснение:

dy/dx = ( 2y + 1 ) * cosx/sinx ;     y ( π/4 ) = 1/2 ;

dy/( 2y + 1 ) = cosxdx / sinx ;

1/2 * dy/( y + 0,5 ) = d(sinx )/sinx ;

dy/( y + 0,5 ) = 2d(sinx )/sinx ;   інтегруємо :

∫ dy/( y + 0,5 ) = ∫ 2d(sinx )/sinx ;

ln| y + 0,5 |  = 2 ln| sinx | + ln| C | ;

ln| y + 0,5 |  = ln| C || sinx |² ;

y + 0,5 = Csin²x ;

y = Csin²x - 0,5 ;   - загальний розв"язок диф. рівняння

y ( π/4 ) = 1/2= С (sinπ/4)² - 0,5 ;

С (sinπ/4)²= 1 ;

C * (1 /√2 )² = 1 ;

C * 1/2 = 1 ;

C = 2 ; отже ,   у = 2sin²х - 0,5 - шуканий частинний розв"язок .