Question

2. Знайти інтеграл: arctgx dx​

Answer 1

$\int\mathrm{arctg}\,x\,dx$

Интеграл находим по частям, используя формулу:

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

Получаем:

$\int\mathrm{arctg}\,x\,dx=\left<\begin{array}{l}u=\mathrm{arctg}\,x\\\Rightarrow du=\dfrac{dx}{1+x^2} \\ dv=dx \\ \Rightarrow v=x \end{array}\right>=x\mathrm{arctg}\,x-\int\dfrac{xdx}{1+x^2} =$

$=x\mathrm{arctg}\,x-\dfrac{1}{2} \int\dfrac{2xdx}{1+x^2} =x\mathrm{arctg}\,x-\dfrac{1}{2} \int\dfrac{d(1+x^2)}{1+x^2} =$

$=x\mathrm{arctg}\,x-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$