Question

(2cos^2x+sinx-2)√5tgx=0​

Answer 1

Ответ:

$\pi k;\dfrac{\pi }{6} +2\pi n;k~,n\in\mathbb {Z},$

Объяснение:

Решим уравнение:

$(2cos^{2} x+sinx-2) \sqrt{5tgx} =0$

Найдем ОДЗ данного уравнения.

Так как арифметический квадратный корень определен на множестве неотрицательных чисел, то $5tgx\geq 0$

Так как  $tgx=\dfrac{sinx}{cos x}$  , то $cosx\neq 0$

Значит, ОДЗ уравнение задается системой

$\left \{\begin{array}{l} 5tgx\geq = 0, \\ cosx\neq 0; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} tgx\geq = 0, \\ cosx\neq 0. \end{array} \right.$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой определен. Если найдена ОДЗ, то рассмотрим два случая.

$1)2cos^{2} x+sinx-2=0;\\2(1-sin^{2} x)+sinx-2=0;\\2 -2sin^{2} x+sinx-2=0;\\-2sin^{2} x+sinx=0|\cdot(-1);\\2sin^{2} x-sinx=0;\\sinx(2sin x-1)=0;$

$\left [\begin{array}{l} sinx = 0, \\ 2sinx-1=0; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} sinx = 0, \\ sinx=\dfrac{1}{2} ; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} x = \pi k,~k\in\mathbb {Z},\\ \\ x = \dfrac{\pi }{6} +2\pi n,~n\in\mathbb {Z},\\ \\x = \dfrac{5\pi }{6} +2\pi m ,~m\in\mathbb {Z} .\end{array} \right.$

$2) \sqrt{5tgx} =0;\\5tgx=0;\\tgx=0;\\x=\pi k,~k\in\mathbb {Z}$

Учтем ОДЗ : ( смотри вложение )

Получим

$x=\pi k, ~k\in\mathbb {Z};\\ x = \dfrac{\pi }{6} +2\pi n,~n\in\mathbb {Z},$

#SPJ3