Question

Докажите тождество)))​

Answer 1

Доказать тождество:

$\dfrac{1 - \cos 2x + \sin 2x}{\sin \left(\dfrac{\pi }{2} + x \right) + \sin x} = 2\sin x$

1. Определим область допустимых значений.

1.1. Выражение слева имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю:

$\sin \left(\dfrac{\pi}{2} + x \right) + \sin x \neq 0.$

1.2. Используя формулу приведения $\sin \left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos \alpha,$ получаем:

$\cos x + \sin x \neq 0.$

1.3. Умножим обе части на $\dfrac{\sqrt{2} }{2} \colon$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin x \neq 0.$

1.4. Поскольку $\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin \dfrac{\pi }{4}$ и $\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos \dfrac{\pi }{4},$ то получаем:

$\sin \dfrac{\pi}{4} \cos x + \cos \dfrac{\pi}{4} \sin x \neq 0.$

1.5. Используя формулу синуса суммы $\sin (\alpha + \beta )=\sin \alpha \cos \beta + \cos\alpha \sin \beta,$ получаем:

$\sin \left(\dfrac{\pi}{4} + x \right) \neq 0.$

1.6. Так как $\sin t \neq 0$ для $t \neq \pi n, ~ n \in Z,$ то:

$\dfrac{\pi }{4} + x \neq \pi n, ~ n \in Z.$

1.7. Перенесём $\dfrac{\pi}{4}$ в правую часть, изменив знак на противоположный:

$x \neq -\dfrac{\pi }{4} + \pi n, ~ n \in Z.$

2. Докажем данное тождество, работая с левой частью равенства.

2.1. Преобразуем данное выражение, применив формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2} \alpha,$ синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ и формулу приведения $\sin \left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos \alpha \colon$

$\dfrac{1 - \cos^{2}x + \sin^{2}x + 2\sin x\cos x}{\cos x + \sin x}.$

2.2. Замечаем в числителе следствие из основного тригонометрического тождества $\sin^{2}\alpha = 1 - \cos^{2}\alpha \colon$

$\dfrac{\sin^{2}x + \sin^{2}x + 2\sin x\cos x}{\cos x + \sin x};$

$\dfrac{2\sin^{2}x + 2\sin x\cos x}{\cos x + \sin x}.$

2.3. Вынесем в числителе общий множитель $2\sin x$ за скобки:

$\dfrac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{\cos x + \sin x}.$

2.4. Сокращаем дробь на $(\sin x + \cos x) \colon$

$2\sin x.$

Тождество доказано.

Ответ: $\dfrac{1 - \cos 2x + \sin 2x}{\sin \left(\dfrac{\pi }{2} + x \right) + \sin x} = 2\sin x,$ если $x \neq -\dfrac{\pi }{4} + \pi n, ~ n \in Z.$

Пометка. Пункт под нахождением области допустимых значений не является обязательным при доказательстве тождества.