Question

Лежат ли точки А(-1;2;0), B(1;4;0), C(1;0;0) и Q(-2;2;1) в одной плоскости? Если нет, то каков объем тетраэдра QABC и его высота, опущенная из вершины Q?
5. Вычислить длину высоты, опущенной из вершины А1 параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 на его основание АВСД, если А(2; -1; -2), В(4; 1; 2), С(0; -2; -2) и А1(-2; 0; 3).

Answer 1

4) Даны точки А(-1;2;0), B(1;4;0), C(1;0;0) и Q(-2;2;1).

Так как координаты точек А, В и С по оси OZ равны нулю, то все они лежат в одной плоскости xOy.

Находим площадь треугольника ABC:

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 4 кв.ед.

Высота пирамиды равна расстоянию от точки Q до плоскости АВС, соответствему координате z = 1. То есть, Н = 1.

Ответ: V = (1/3)SoH = (15/3)*4*1 = 4/3 куб.ед.

5) Даны вершины параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 :

А(2; -1; -2), В(4; 1; 2), С(0; -2; -2) и А1(-2; 0; 3).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA                   y - yA                   z - zA

xB - xA                yB - yA                zB - zA

xC - xA                 yC - yA               zC - zA      = 0.

Подставим данные и упростим выражение:

x – 2             y - (-1)             z - (-2)

4 – 2              1 - (-1)            2 - (-2)

0 – 2             (-2) - (-1)        (-2) - (-2)     = 0

x – 2               y - (-1)         z - (-2)

  2                        2                  4

-2                       -1                   0            = 0

(x – 2)(2·0-4·(-1)) – (y - (-1))(2·0-4·(-2)) + (z - (-2))(2·(-1)-2·(-2)) = 0

4x - 2 + (-8)y - (-1) + 2z - (-2) = 0

4x - 8y + 2z - 12 = 0 после сокращения на 2 получаем:

2x - 4y + z - 6 = 0.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости

Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²).

Подставим в формулу данные:

d = |2·(-2) + (-4)·0 + 1·3 + (-6)|/√(2² + (-4)² + 1²) = |-4 + 0 + 3 - 6|/√(4 + 16 + 1) =

= 7/√21 = √21/3 ≈ 1.527525.