Question

Даю 100 балов! Найдите наименьшее значение функции на отрезке [1;20].

Answer 1

Ответ:

2

Объяснение:

Рассматриваем значения x только из указанного промежутка.

$y=\sqrt[5]{\frac{x^2+121}{22x} } +1\\y'=\frac{1}{5\sqrt[5]{(\frac{x^2+121}{22x} })^4} *(\frac{x^2+121}{22x})'=\frac{1}{5\sqrt[5]{(\frac{x^2+121}{22x} })^4} *\frac{2x*22x-(x^2+121)*22}{(22x)^2}=\\=\frac{1}{5\sqrt[5]{(\frac{x^2+121}{22x} })^4} *\frac{44x^2-22x^2-2662}{484x^2} = \frac{1}{5\sqrt[5]{(\frac{x^2+121}{22x} })^4} *\frac{22x^2-2662}{484x^2}=\\= \frac{1}{5\sqrt[5]{(\frac{x^2+121}{22x} })^4} *\frac{x^2-11^2}{22x^2}$

Глядя на числитель видно, что это выражение положительно для всех x от 11 до 20 и отрицательно при x от 1 до 11 - следовательно функция сначала убывает на [1;11] и потом возрастает на [11;20].

Значит наименьшее значение достигается при x=11:

$\sqrt[5]{\frac{11^2+121}{22*11} } +1=\sqrt[5]{\frac{2*11*11}{2*11*11} } +1=1+1=2$