Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции fx =3x^5=5x^3 на промежутке [0;2]

Answer 1

$f(x)=3x^{5}-5x^{3}$

Найдём производную :

$f'(x)=3\cdot(x^{5})'-5\cdot(x^{3})'=3\cdot5x^{4} -5\cdot3x^{2}=15x^{4} -15x^{2}$

Приравняем производную нулю, найдём критические точки :

$15x^{4}-15x^{2}=0\\\\x^{4} -x^{2}=0\\\\x^{2}(x^{2}-1)=0\\\\x^{2}(x-1)(x+1)=0\\\\x_{1}=0\\\\x-1=0 \ \Rightarrow \ x_{2} =1\\\\x+1=0 \ \Rightarrow \ x_{3} =-1-neyd,tak \ kak \ -1\notin [0 \ ; \ 2]$

Найдём значения функции в точке x = 1 и на концах отрезка и сравним их .

$f(0)=3\cdot0^{5} -5\cdot0^{3} =0\\\\f(1)=3\cdot1^{5} -5\cdot1^{3}=3-5=\boxed{-2}\\\\f(2)=3\cdot2^{5} -5\cdot2^{3}=3\cdot32-5\cdot8=96-40=\boxed{56}$

Наибольшее значение функции равно 56 , а наименьшее равно - 2 .