Question

Обчислити довжину дуги Помогите пж

Answer 1

Ответ:       1/2[ch1 √ch1 - 1 ] .

Пошаговое объяснение:

14 ) [ x = ch³t ,

     [ y = sh³t ;   tЄ [ 0 ; 1 ] .

Довжину дуги знаходимо за формулою :  L = ∫₀¹√ [(x'(t))² + y'(t))²]dt ;

[ x'(t) ]² = (3ch²t * sht)² = 9ch⁴t * sh²t  ;    [ y'(t)]² = (3sh²t * cht)² = 9sh⁴t * ch²t ;

√ [(x'(t))²+ y'(t))²] = √ ( 9ch⁴t * sh²t + 9sh⁴t * ch²t) = √ [ 9ch²t sh²t (ch²t+sh²t)] =

=3cht sht * √ (ch2t ) = 3/2 * ( 2cht sht )√(ch2t ) = 3/2 * sh2t √(ch2t ) .

Підставляємо значення у формулу довжини дуги :

L = ∫₀¹√ [(x'(t))² + y'(t))²]dt = ∫₀¹3/2 sh2t √(ch2t ) dt =3/2∫₀¹(1/2 √ch2t d(ch2t))=

= 3/4 * 2/3* (ch2t)^3/2│₀¹ = 1/2 [ ( ch1)^3/2 - ( ch0)^3/2 ]= 1/2[ch1 √ch1 - 1 ] ;

L = 1/2[ch1 √ch1 - 1 ] .