Question

Найти решения уравнений, удовлетворяющие условиям

(x-y)dx+xdy=0 , если y=0 при x=1

Answer 1

$(x-y)dx+xdy=0$

$(x-y)+x\cdot\dfrac{dy}{dx} =0$

$x-y+xy'=0$

$1-\dfrac{y}{x} +y'=0$

$y'-\dfrac{1}{x}\cdot y=-1$

Замена. Решение ищем в виде произведения двух ненулевых функций:

$y=uv$

$y'=u'v+uv'$

Получаем уравнение:

$u'v+uv'-\dfrac{1}{x}\cdot uv=-1$

Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого равна нулю:

$u'v-\dfrac{1}{x}\cdot uv=0$

$u'-\dfrac{1}{x}\cdot u=0$

$\dfrac{du}{dx} =\dfrac{u}{x}$

$\dfrac{du}{u} =\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{du}{u} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\ln |u| = \ln |x|$

$u=x$

Тогда второе слагаемое равно правой части:

$uv'=-1$

$xv'=-1$

$x\cdot\dfrac{dv}{dx} =-1$

$dv =-\dfrac{dx}{x}$

$\int dv =-\int \dfrac{dx}{x}$

$v =-\ln |x|+\ln C$

$v =\ln \dfrac{C}{x}$

Тогда решение:

$y=uv=x\ln \dfrac{C}{x}$

Найдем частное решение. Подставим в общее уравнение условия y=0, x=1:

$0=1\cdot\ln \dfrac{C}{1}$

$0=\ln C$

$C=1$

Частное решение имеет вид:

$y=x\ln \dfrac{1}{x}$

$y=-x\ln x$