Question

решите неравенство $|2^{4x^{2} -1} -5|\leq 3$

Answer 1

$|2^{4x^{2} -1} -5|\leq 3$

Раскроем модуль:

$-3\leq 2^{4x^{2} -1} -5\leq 3$

Ко всем частям неравенства добавим 5:

$5-3\leq 2^{4x^{2} -1} \leq 5+3$

$2\leq 2^{4x^{2} -1} \leq 8$

Представим левую и правую части в виде степени двойки:

$2^1\leq 2^{4x^{2} -1} \leq 2^3$

Перейдем к неравенству для показателей:

$1\leq 4x^{2} -1 \leq 3$

Ко всем частям неравенства добавим 1:

$1+1\leq 4x^{2} \leq 1+3$

$2\leq 4x^{2} \leq 4$

Разделим все части неравенства на 4:

$\dfrac{1}{2} \leq x^{2} \leq 1$

Запишем решение с помощью модуля:

$\dfrac{\sqrt{2} }{2} \leq |x| \leq 1$

В виде числовых промежутков получим:

$x\in\left[-1;\ -\dfrac{\sqrt{2} }{2} \right]\cup\left[\dfrac{\sqrt{2} }{2};\ 1\right]$