Question

решите систему уравнений
$\left \{ {{sin x * cos y = -\frac{1}{2} } \atop {sin y * cos x = \frac{1}{2} }} \right.$

Answer 1

$\left \{ {{sinxcosy=-\frac{1}{2} } \atop {sinycosx=\frac{1}{2} }} \right.$

Сложим и вычтем оба уравнения и перейдем к равносильной системе:

$\left \{ {{sinxcosy+sinycosx=0} \atop {sinxcosy-sinycosx=-1} \right.$  ⇔ $\left \{ {{sin(x+y)=0} \atop {sin(x-y)=-1}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{x+y=\pi n} \atop {x-y=-\frac{\pi }{2}+2\pi k }} \right.$ ; n,k ∈ Z

Теперь сложим оба уравнения и выразим x:

$2x=\pi n-\frac{\pi }{2}+2\pi k\\x= \frac{\pi n}{2}-\frac{\pi }{4}+\pi k\\x= -\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}(n+2k)$ ; n,k ∈ Z

Теперь выразим y через x

$x+y=\pi n\\y=\pi n-x\\y=\pi n+\frac{\pi }{4} -\frac{\pi n}{2}-\pi k \\y=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}(n-2k)$; n,k ∈ Z

Ответ: $( -\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}(n+2k) ;\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}(n-2k))$ ; n,k ∈ Z