Question

Помогите решить задачи, срочно 35 баллов

Answer 1

$1)\\a) sinx=-1\\x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$ , n ∈ Z

$b) cosx=0,5\sqrt{2}\\cosx=\frac{\sqrt{2} }{2} \\x= +-\frac{\pi }{4}+2\pi n$, n ∈ Z

2)

$sinx\geq -0,5\\sinx\geq -\frac{1}{2}$

(окружность для этого неравенства на прикреплённом на фото)

$-\frac{\pi}{6}+2\pi n \leq x\leq \frac{7\pi }{6} + 2\pi n$ , n ∈ Z

3)

$a) 2cos^2x-cosx-1=0$

Решим квадратное уравнение относительно $cosx:$

$D=1-4*2*(-1)=9=3^2\\cosx=\frac{1+3}{4}=1 \\cosx=\frac{1-3}{4}= -\frac{1}{2}$

$cosx=1\\x=2\pi n$ , n ∈ Z

$cox=-\frac{1}{2} \\x=+-arccos(-\frac{1}{2})+2\pi n = +-(\pi -arccos\frac{1}{2})+2\pi n=+-\frac{2\pi }{3}+2\pi n$ , n ∈ Z

$b)\\sin^2x+\sqrt{3}sinxcosx=0$

Проверим, являются ли $cosx=0$ и $sinx=1$ (по ОТТ) корнями уравнения:

$1+\sqrt{3}*1*0=0$

1 ≠ 0 , значит мы можем спокойно поделить обе части уравнения на $cos^2x$:

$tg^2x+\sqrt{3}tgx=0\\tgx(tgx+\sqrt{3})=0\\\\tgx=0\\x=arctg0+\pi n= \pi n$ , n ∈ Z

$tgx+\sqrt{3}=0\\tgx=-\sqrt{3} \\x=arctg(-\sqrt{3})+\pi n=-arctg\sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi }{3}+\pi n$ , n ∈ Z

4)

$\left \{ {{x+y=\pi } \atop {sinx+siny=-\sqrt{2} }} \right. \left \{ {{y=\pi -x} \atop {sinx+siny=-\sqrt{2} }} \right. \left \{ {{y=\pi -x } \atop {sinx+sin(\pi -x)=-\sqrt{2} }} \right. \\\left \{ {{y=\pi -x } \atop {2sinx=-\sqrt{2} }} \right. \left \{ {{y=\pi-x } \atop {sinx=-\frac{\sqrt{2} }{2} }} \right. \left \{ {{y=\pi -x } \atop {x=(-1)^n^+^1\frac{\pi }{4}+\pi n } }} \left \{ {{y=\pi -((-1)^n^+^1\frac{\pi }{4}+\pi n) } \atop {x=(-1)^n^+^1\frac{\pi }{4}+\pi n }}$ ,  n ∈ Z

$\left \{ {{y=(-1)^n^+^2\frac{\pi }{4}+\pi -\pi n } \atop {x=(-1)^n^+^1\frac{\pi }{4}+\pi n }} \right.$

Ответ: $((-1)^n^+^1\frac{\pi }{4}+\pi n;(-1)^n^+^2\frac{\pi }{4}+\pi -\pi n)$ ,  n ∈ Z

5)

$sin^2x-2sinxcosx=3cos^2x$

Проверим, являются ли $sinx=1 , cosx=0$ (по ОТТ) корнями уравнения:

$1-2*1*0=3*0$

1 ≠ 0 , значит мы имеем право поделить обе части уравнения на $cos^2x:$

$tg^2x-2tgx=3\\tg^2x-2tgx-3=0$

Решим квадратное уравнение относительно $tgx$ и найдем его корни по теореме Виета:

$tgx=3; tgx=-1\\\\tgx=3\\x=arctg3+\pi n$ ,  n ∈ Z

$tgx=-1\\x=arctg(-1)+\pi n=-arctg1 + \pi n = - \frac{\pi }{4}+ \pi n$ ,  n ∈ Z