Question

Помогите пожалуйста! Даю 27 баллов (отмечу как лучший ответ)!! Алгебра 10-11 кл.

Найдите все такие комплексные числа z, что z^2 + 2̅z+ 1 = 0

Answer 1

Ответ:           z ₁ = - 1 + 0 i = -1 ;  z ₂,₃ = 1 ± 2 i .

Объяснение:

z² + 2̅z  +  1 = 0  ;  

шукаємо комплексні числа z  у вигляді  z = a + i b .  Підставляємо z   у

дане рівняння :

( a + i b )² + 2*( a - i b) + 1 = 0 ;

a² + 2ab i + ( i b)² + 2a - 2b i + 1 = 0 ;

a² + 2ab i - b² + 2a - 2b i + 1 = 0 ;  групуємо дійсну і уявну  частини :

( a² - b² + 2a + 1 ) + i ( 2ab - 2b ) = 0 ;   права частина 0 , тому маємо

систему двох рівнянь для визначення  a  i  b :

{ a² - b² + 2a + 1 = 0 ,

{ 2ab - 2b = 0 ;

{ ( a + 1 )² - b² = 0 ,

{ 2b( a - 1 ) = 0 .

Із  ІІ  рівняння маємо  :  1)  b = 0  або  2)  a  - 1 = 0 , тобто а = 1 .

1)  якщо b = 0 , то із  І рівняння  ( a + 1 )² = 0 , тобто а = - 1 ;

2) якщо а = 1 , то  із  І рівняння   b² = 4  ;     b ₁,₂ = ± √ 4 = ± 2 .

Отже , ми знайшли такі з -и розв"язки :  z ₁ = - 1 + 0 i = -1 ;  z ₂,₃ = 1 ± 2 i .