Question

Найти значение выражения $x^{2}_{1} x^{2}_{2}+ x^{2}_{1} x^{2}_{3}+ x^{2}_{2} x^{2}_{3}$, используя теорему Виета, если $x_{1} ,x_{2} ,x_{3}$ корни уравнения $x^{3} -x+3=0$
Пожалуйста можно с объяснениями, тк хочется разобраться в теме(

Answer 1

Согласно теореме Виета для кубического уравнения $ax^3+bx^2+cx+d=0$ корни этого уравнения удовлетворяют следующим условиям:

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \\x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = \frac{c}{a} \\x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

В заданном уравнении $a=1,b=0,c=-1,d=3$, поэтому перепишем условия:

$x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = -1 \\x_1x_2x_3 = -3$

Возведём обе части второго уравнения во вторую степень:

$(x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3)^2 = 1$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой:

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$

Таким образом:

$x_1^2x_2^2 + x_2^2x_3^2 + x_1^2x_3^2 + 2(x_1x_2x_2x_3+x_2x_3x_1x_3+x_1x_2x_1x_3) = 1$

Из скобок вынесем общий множитель:

$x_1^2x_2^2 + x_2^2x_3^2 + x_1^2x_3^2 + 2x_1x_2x_3(x_2+x_3+x_1) = 1$

Первые три слагаемых образуют искомое выражение, а все остальные части этого выражения можем заменить на числа (смотрим на условия, описанные в начале решения):

$x_1^2x_2^2 + x_2^2x_3^2 + x_1^2x_3^2 + 2\cdot (-3)\cdot 0 = 1\\x_1^2x_2^2 + x_2^2x_3^2 + x_1^2x_3^2=1$

Ответ: 1