Question

Вычислить длину дуги кривой

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{3}{4}+\dfrac{ln2}{2}$

Пошаговое объяснение:

$y=\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{lnx}{2}\Rightarrow y'=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2x}$

Тогда длина кривой равна $l=\int\limits_1^2\sqrt{1+y'^2}dx=\\ =\left[1+\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2x}\right)^2=1+\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4x^2}=\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4x^2}=\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}\right)^2\right]=\\ =\int\limits_1^2\left|\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}\right|dx=\int\limits_1^2\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}\right)dx=\left(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{lnx}{2}\right)\Big|\limits_1^2=\left(\dfrac{2^2}{4}+\dfrac{ln2}{2}\right)-\left(\dfrac{1^2}{4}+\dfrac{ln1}{2}\right)=$$=\left(1+\dfrac{ln2}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{ln1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{ln2}{2}$