Question

4cos³ x + 3cosx + 4√3 = 4√3sin² x



укажите корни на отрезке

[3п/2; 3п]

Answer 1

Ответ:

$x_1 = \dfrac{3\pi }{2} ~~ ; ~~ x_2 = \dfrac{5\pi }{2} ~~ ; ~~ x_3 = \dfrac{17\pi }{6 }$

Объяснение:

$\displaystyle 4\cos ^3 x + 3\cos x + 4\sqrt{3 } = 4\sqrt{3}\sin ^2 x \\\\ 4\cos ^3 x + 3\cos x + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}(1-\cos ^2 x) \\\\ 4\cos ^3 x + 3\cos x + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} -4\sqrt{3}\cos^2 x \\\\ 4\cos ^3x +4\sqrt{3} \cos ^2x + 3\cos x =0 \\\\ \cos x(4\cos^ 2 x + 4\sqrt{3} \cos x + 3 ) =0$

Каждый множитель приравняем к нулю

Для первого множителя

$\hspace{-1,2em}1) ~ \cos x = 0 \\\\ x = \dfrac{\pi }{2} + \pi n ~ ; ~ n \in \mathbb{Z}$

Находим корни принадлежащие отрезку  [3п/2 ; 3п]

$n =0 ~~ ; ~~ x =\dfrac{\pi }{2}~~ \varnothing \\\\\\ n = 1 ~~ ; ~~ x_1 = \dfrac{\pi }{2} + \pi = \dfrac{3\pi }{2} ~~ \checkmark \\\\\\ n = 2 ~~ ; ~~ x_2= \dfrac{\pi }{2} + 2\pi = \dfrac{5\pi }{2} ~~ \checkmark$

Для второго

$2) ~~ 4\cos^ 2 x + 4\sqrt{3} \cos x + 3 =0$

Можно заметить что это полный квадрат

$(2\cos x + \sqrt{3} ) ^ 2 =0 \\\\ 2\cos x + \sqrt{3} =0 \\\\ \cos x = -\cfrac{\sqrt{3} }{2} \\\\ x = \arccos \bigg (-\dfrac{\sqrt{3} }{2} \bigg ) + 2\pi n \\\\ x= \pm \dfrac{5\pi }{6 } + 2\pi n ~ ; ~ n \in \mathbb {Z}$

Находим корни принадлежащие отрезку  [3п/2 ; 3п]

$1) ~~ x= \dfrac{5\pi }{6 } + 2\pi n ~ ; ~ n \in \mathbb {Z}$

$n = 1 ~~ ; ~~ x_3 = \dfrac{5\pi }{6} + 2 \pi = \dfrac{17\pi }{6 } ~~ \checkmark$

$2) ~~ x= -\dfrac{5\pi }{6 } + 2\pi n ~ ; ~ n \in \mathbb {Z}$

$n = 1 ~~ ; ~~ x= -\dfrac{5\pi }{6} + 2 \pi = \dfrac{7\pi }{6 } ~~ \varnothing \\\\\\ n =2 ~~ ; ~~ x =- \dfrac{5\pi }{6} + 4\pi = \dfrac{19\pi }{6} ~~ \varnothing$

#SPJ3