Question

Решите диф уравнения, 100 баллов
$y'=1+\sqrt{1-(y/x)}\\2xy'y''=(y')^{2}-1$

Answer 1

1)

$y'=1+\sqrt{1-\dfrac{y}{x}}\\ \left[z=\dfrac{y}{x}\Rightarrow y'=z+xz'\right]\\ z+xz'=1+\sqrt{1-z}\\ \int \dfrac{dz}{1-z+\sqrt{1-z}}=\int\dfrac{dx}{x}$

$(*)\;\int \dfrac{dz}{1-z+\sqrt{1-z}}=\left[u=\sqrt{1-z}\Rightarrow du =\dfrac{-dz}{2\sqrt{1-z}},dz=-2udu\right]=\\ =\int \dfrac{-2du}{u+1}=C-2ln(u+1)=C-2ln(\sqrt{1-z}+1)$

$C-2ln(\sqrt{1-z}+1)=lnx\\ C_1=x\left (\sqrt{1-z}+1\right)^2\\ C_1=\left (\sqrt{x-y}+\sqrt{x}\right)^2$

Общий интеграл найден.

Проверим существование особого решения:

$1-z+\sqrt{1-z}=0\Rightarrow \sqrt{1-z}(\sqrt{1-z}+1)=0\Rightarrow \sqrt{1-z}=0\Rightarrow z=1\Rightarrow y=x$

Подставим в условие:

$1=1+\sqrt{1-1}$ - верно.

2)

$2xy'y''=(y')^2-1\\ 2y'y''\cdot\dfrac{1}{x}+(y')^2\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=-\dfrac{1}{x^2}\\ \left((y')^2\cdot\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}\\ (y')^2\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}+C\\ (y')^2=1+Cx\\ y'=\pm\sqrt{1+Cx}\\ \int dy=\pm\int\sqrt{1+Cx} dx$

$(*)\;\int\sqrt{1+Cx} dx=\dfrac{1}{C}\int\sqrt{1+Cx} d(1+Cx)=\dfrac{1}{C} \cdot \dfrac{2}{3}(\sqrt{1+Cx})^3+C_1$

$y=\pm\dfrac{1}{C} \cdot \dfrac{2}{3}(\sqrt{1+Cx})^3+C_2$