Question

Найдите коэффициент при x^7 в многочлене (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)^8
дам лучший ответ

Answer 1

$(1+x+x^2+\ldots+x^8)^8=\frac{(1-x^9)^8}{(1-x)^8}=(1-x^9)^8(1-x)^{-8}.$

$(1-x^9)^8=1-8x^9+\ldots+x^{72};$

$(1-x)^{-8}=1+(-8)(-x)+\frac{(-8)(-9)}{2!}(-x)^2+\ldots+\frac{(-8)(-9)\ldots(-14)}{7!}(-x)^7+\ldots;$

при перемножении $x^7$ встретится только один раз:

$1\cdot \frac{14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}x^7=13\cdot 11\cdot 3\cdot 8x^7=3432x^7.$

Замечание. Мы воспользовались разложением функции в ряд Тейлора, которое справедливо только на интервале (-1;1), но поскольку многочлен n-й степени однозначно задается своими значениями в (n+1)-й точке, а мы узнали его на целом интервале, коэффициент при 7-й степени найден корректно.

Ответ: 3432