Question

Найти все значения a, при каждом из которых уравнение 2|x| - (x+a) = 0 имеет единственное решение на интервале (-1;1)

Answer 1

• При $\boxed{a = 0}$, очевидно, уравнение имеет ровно одно решение -  $x = 0$, попадающее в заданный интервал. Соответственно, данное значение параметра пойдет в ответ.

Далее рассмотрим два случая:

• Предположим, корни уравнения - отрицательные, т.е. $x<0\Rightarrow |x|=-x$. Уравнение принимает вид:

$-2x-x-a=0\Rightarrow -3x=a\Rightarrow x=-\frac{a}{3}$.

Проверяем найденный корень на попадение в интервал $(-1; 0)$:

$\left \{ {{-\frac{a}{3} < 0,} \atop {-\frac{a}{3} > -1;}} \right. \left \{ {{a > 0,} \atop {a < 3.}} \right.$

• Предположим, корни уравнения - положительные, т.е. $x > 0\Rightarrow |x| = x$. Уравнение принимает вид $2x-x-a=0\Rightarrow x=a$.

Проверяем найденный корень на попадение в интервал $(0; 1)$ - очевидно, $0 < a < 1$.

Анализируем. Заметим, что значения $a\in(0; 1)$ подпадают под оба случая: при таких значениях параметра на интервале существует как первый корень $x=-\frac{a}{3}$ , так и второй - $x = a$. Т.к. корень должен быть всего один, все  $a\in(0; 1)$  необходимо исключить из ответа.

Для $a \in (1; 3)$ на отрезке существует только один корень - $x=-\frac{a}{3}$, поэтому данные значения параметра идут в ответ.

ОТВЕТ: $a\in \{0\}\cup(1; 3)$.