Question

срочно!!!!! помогите с интегралами​

Answer 1

1-й способ - используя геометрический смысл определенного интеграла.

Поскольку $y=\sqrt{3-x^2}$ - уравнение верхней половины окружности с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{3},$ а пределы интегрирования от нуля до $\sqrt{3},$ интеграл будет равен четверти площади круга радиуса

$\sqrt{3},$ то есть $\frac{\pi(\sqrt{3})^2}{4}=\frac{3\pi}{4}.$

2-й способ. Замена $x=\sqrt3}\sin t; t=\arcsin \frac{x}{\sqrt{3}};\ x=0\Rightarrow t=0;\ x=\sqrt{3}\Rightarrow t=\frac{\pi}{2};\ dx=\sqrt{3}\cos t\,dt;$

$\sqrt{3-x^2}=\sqrt{3}\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{3}\sqrt{\cos^2 t}=\sqrt{3}|\cos t|=\sqrt{3}\cos t$

(последнее равенство благодаря тому, что косинус в этом промежутке неотрицателен. Получаем

$\int\limits_0^{\sqrt{3}}\sqrt{3-x^2}\,dx=3\int\limits_0^{\pi/2}\cos^2 t\, dt=\frac{3}{2} \int\limits_0^{\pi/2}(1+\cos 2t)\, dt=\left.\frac{3}{2}(t+\frac{1}{2}\sin 2t)\right|_0^{\pi/2}=$

$=\frac{3}{2}(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin\pi-0-\frac{1}{2}\sin 0)=\frac{3\pi}{4}.$

3-й способ - интегрированием по частям и сведением к самому себе. Но время позднее, и я, пожалуй, ограничусь первыми двумя способами.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}.$