Question

решите уравнение
$3x-cos2x=-x^5-1$

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$3x-cos2x=-x^5-1\\x^5+3x+1-cos2x=0$

Пусть $f(x)=x^5+3x+1-cos2x$.

Тогда $f'(x)=5x^4+3+2sin2x$.

Заметим, что $5x^4+3\ge3$ при любом значении x. Так как $-1\le sin2x\le 1$, то делаем вывод, что производна всегда будет положительна, то есть $f(x)$ монотонно возрастает. Тогда $f(x)=0$ если и имеет, то не более одного корня.

Предположим, что это $x=0$.

Действительно:

$3\times0-cos(2\times0)=-0^5-1\\-1=-1$, верно.

Тогда $x=0$ - это искомый корень.

Уравнение решено!

Answer 2

$3x-\cos 2x=-x^5-1;$ левая часть растет (если это кажется не вполне очевидным, посчитайте производную и убедитесь, что она всюду больше нуля); правая часть убывает (если это кажется не вполне очевидным, посчитайте производную и убедитесь, что она всюду меньше нуля (правда, при x=0 она равна нулю, но равенство производной нулю в одной точке не мешает функции оставаться монотонной)). Вывод: графики левой и правой части если где-то и пересекаются, то максимум в одной точке. Нам повезло, что эта точка легко угадывается - это точка с абсциссой 0.

Ответ: 0