Question

Найдите общее решение и укажите вид частных решений уравнения
y"'+2y''+y'=e^(-x)
пожалуйста, помогите​

Answer 1

$y'''+2y''+y'=e^{-x}$

Найдем сначала общее решение.

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общение решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения .

Составим соответствующее однородное уравнение:

$y'''+2y''+y'=0$

Для этого уравнения составим и решим характеристическое уравнение:

$\lambda^3+2\lambda^2+\lambda=0$

$\lambda(\lambda^2+2\lambda+1)=0$

$\lambda(\lambda+1)^2=0$

$\lambda_1=0;\ \lambda_2=\lambda_3=-1$

Записываем общее решение однородного уравнения:

$Y=C_1e^{0x}+C_2e^{-x}+C_3xe^{-x}$

$Y=C_1+C_2e^{-x}+C_3xe^{-x}$

Частное решение ищем в виде:

$\overline{y}=Ax^2e^{-x}$

Сомножитель $x^2$ возникает по причине того, что два корня характеристического уравнения совпали с коэффициентом при х в показателе экспоненты.

Находим первые три производные:

$\overline{y}'=A((x^2)'e^{-x}+x^2(e^{-x})')=A(2xe^{-x}-x^2e^{-x})=A(2x-x^2)e^{-x}$

$\overline{y}''=A(2x-x^2)'e^{-x}+A(2x-x^2)(e^{-x})'=$

$=A(2-2x)e^{-x}-A(2x-x^2)e^{-x}=A(2-4x+x^2)e^{-x}$

$\overline{y}'''=A(2-4x+x^2)'e^{-x}+A(2-4x+x^2)(e^{-x})'=$

$=A(-4+2x)e^{-x}-A(2-4x+x^2)e^{-x}=A(-6+6x-x^2)e^{-x}$

Подставляем значения производных в уравнение:

$A(-6+6x-x^2)e^{-x}+2A(2-4x+x^2)e^{-x}+A(2x-x^2)e^{-x}=e^{-x}$

$A(-6+6x-x^2)+2A(2-4x+x^2)+A(2x-x^2)=1$

$A(-6+6x-x^2)+A(4-8x+2x^2)+A(2x-x^2)=1$

$A(-6+6x-x^2+4-8x+2x^2+2x-x^2)=1$

$-2A=1$

$A=-\dfrac{1}{2}$

Значит, частное решение имеет вид:

$\overline{y}=-\dfrac{1}{2} x^2e^{-x}$

Записываем общее решение неоднородного уравнения:

$y=Y+\overline{y}=C_1+C_2e^{-x}+C_3xe^{-x}-\dfrac{1}{2} x^2e^{-x}$

Запишем какое-нибудь частное решение.

Пусть $C_1=1;\ C_2=2;\ C_3=3$:

$y=1+2e^{-x}+3xe^{-x}-\dfrac{1}{2} x^2e^{-x}$