Question

$cos cos(2\pi - x) + sinsin( \frac{\pi}{2} + x) = \sqrt{2}$
решите тригонометрическое уравнение ​

Answer 1

ОТВЕТ: $\pm \arccos(\frac{\pi}{4})+2\pi n, n\in \mathbb Z.$

Используем формулы приведения:

$\cos[\cos(-x)]+\sin[\cos x]=\sqrt2;\\\\\cos\cos x+\sin \cos x=\sqrt2.$

Разделим обе части на $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$:

$\frac{1}{\sqrt2}\cos\cos x+\frac{1}{\sqrt2}\sin \cos x=1;\\\\\\\sin (\cos x+\frac{\pi}{4}) = 1;\\\\\cos x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} +2\pi k, k\in \mathbb Z;\\\\\cos x=\frac{\pi}{4}+2\pi k, k\in \mathbb Z.$

Разберемся с правой частью. На множестве действительных чисел косинус принимает значения от -1 до 1 включительно, поэтому выражение $\frac{\pi}{4}+2\pi k$ должно попадать в данный промежуток значений. С учётом того, что $k\in \mathbb Z$, это возможно только при $k = 0$

(формально решаем неравенство $-1\leqslant \frac{\pi}{4} +2\pi k \leqslant 1\Leftrightarrow \frac{\pi - 4}{4} \leqslant 2\pi k \leqslant \frac{\pi + 4}{4}\Leftrightarrow \frac{\pi-4}{8\pi} \leqslant k \leqslant \frac{\pi+4}{8\pi}$, имеющее единственное целое решение - число 0, поскольку левая часть > -1, а правое < 1)

т.е. окончательно получаем, что $\cos x=\frac{\pi}{4}.$

Отсюда $x=\pm \arccos(\frac{\pi}{4})+2\pi n, n\in \mathbb Z.$