Question

Исследовать ряд на сходимость с объяснением
(2n+1) tg П/3^n

Answer 1

Признак сравнения в предельной форме говорит, что для положительных рядов мы можем заменить члены ряда на эквивалентные выражения (это когда предел отношения равен 1), не меняя факта сходимости или расходимости. В данном случае это означает переход к ряду с членами $2n\cdot \frac{\pi}{3^n}.$ Чтобы стало еще комфортнее, можно отбросить постоянный множитель $2\pi.$

Итак, имеем ряд $\sum a_n=\sum\frac{n}{3^n}.$ Для его исследования применим признак Даламбера.

$\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\frac{(n+1)\cdot 3^n}{n\cdot 3^{n+1}}=\frac{1}{3}\lim(1+\frac{1}{n})=\frac{1}{3}<1\Rightarrow$ этот ряд сходится, а тогда и исходный ряд сходится.