Question

Исследовать ряд на сходимость:

Answer 1

Ответ:

г) сходится

д) сходится

Пошаговое объяснение:

г)

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^n}$

Используем радикальный признак Коши:

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n}} = \frac{1}{2} < 1}$

Так как предел меньше 1, то ряд сходится.

д)

$\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln^2n}}$

$f(x) = \cfrac{1}{x\ln^2x}$

$f(x)$ - определена и непрерывна на $[2; +\infty]$

$f(x)$ - монотонно не возрастает:

$\displaystyle{\forall x_1 < x_2 : f(x_1) \geq f(x_2) \rightarrow \frac{1}{x_1\ln^2x_1} \geq \frac{1}{x_2\ln^2x_2}}$

По интегральному признаку:

$\displaystyle{\int\limits^\infty_2 {f(x)} \, dx = \int\limits^\infty_2 {\frac{1}{x\ln^2x}} \, dx =\left[ t=\ln x, \ dt = \frac{1}{x}dx, \ dx = xdt \right] = \int\limits^\infty_{\ln 2} {\frac{1}{xt^2}} \, xdt =$$\displaystyle{ =\int\limits^\infty_{\ln 2} {\frac{1}{t^2}} \, dt = \left-\frac{1}{3t^3}\right|^{\infty}_\ln2} = \lim_{t \to \infty}-\frac{1}{3t^3} + \frac{1}{3\ln^32} = \frac{1}{3\ln^32}$

Так как интеграл сходится, то ряд сходится.

Answer 2

Ответ:

Оба ряда сходятся

Пошаговое объяснение:

Решение в приложении