Question

В треугольнике

BM=MC=6 см,

AM=10 см,

угол AMD=углу CMD,

DH перпендикулярен AM,

DH=3см

найдите площадь треугольника ABC

Answer 1

Ответ:

48 см²  

Пошаговое объяснение:

1) Теорема. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. Так как, согласно условию задачи, ВМ = МС, то это значит, что АМ является медианой треугольника АВС, а площади треугольников АВМ и АМС равны между собой:

S ΔАВC  = S ΔАВМ + S ΔАМС,

а так как S ΔАВМ = S ΔАМС, то

S ΔАВC  = 2 · (S ΔАМС).

2) Площадь треугольника АМС равна сумме площадей треугольников АМD и MDC:

S ΔАМС = S ΔАМD + S ΔСMD

3) Согласно условию задачи, DH⊥AM, то есть DH является высотой треугольника АMD, проведённой к основанию АМ, следовательно, площадь треугольника АМD равна:

S ΔАМD = (АМ · DH) : 2 = 10 · 3 : 2 = 30 : 2 = 15 см².

4) Согласно условию задачи, ∠AMD треугольника АМD равен ∠CMD треугольника CMD. Следовательно, sin ∠АМD = sin ∠CМD, и тогда площади данных треугольников соответственно равны:  

S ΔАМD = 0,5 · АМ · МD · sin ∠АМD,        (1)

S ΔСMD = 0,5 · МС · МD · sin ∠АМD.        (2)  

Разделим (1) на (2), получим:

S ΔАМD : S ΔСMD = (0,5 · АМ · МD · sin ∠АМD) : (0,5 · МС · МD · sin ∠АМD)

S ΔАМD : S ΔСMD = AM : МС.                    (3)

Подставим в (3) известные значения и найдём  S ΔСMD.

15 : S ΔСMD = 10 : 6

S ΔСMD = 15 · 6 : 10 = 90 : 10 = 9 см²

5) S ΔАМС = S ΔАМD + S ΔСMD  = 15 + 9 = 24 см²

6) S ΔАВC  = 2 · (S ΔАМС) = 2 · 24 = 48 см²

Ответ: S ΔАВC  = 48 см²