Question

sqrt(3x-2)+sqrt(5x-1)=5

Answer 1

Ответ:

x = 2

Объяснение:

$\sqrt{3x - 2} + \sqrt{5x - 1} = 5$

ОДЗ:

$\left \{ {{3x - 2 \geq 0} \atop {5x - 1\geq 0}} \right.$ $\left \{ {{3x\geq 2|:3} \atop {5x\geq 1|:5}} \right.$ $\left \{ {{x\geq \frac{2}{3} } \atop {x\geq 0,2}} \right.$ ⇒ x ∈ $[\frac{2}{3};+\infty)$

$( \sqrt{3x - 2} + \sqrt{5x - 1})^{2} = 5^{2}$

$3x - 2 + 5x - 1 + 2 \sqrt{(3x - 2)(5x - 1)} = 25$

$8x - 3 + 2 \sqrt{(3x - 2)(5x - 1)} = 25$

$2 \sqrt{(3x - 2)(5x - 1)} = 28 - 8x|:2$

$\sqrt{(3x - 2)(5x - 1)} = 14 - 4x$

$(\sqrt{(3x - 2)(5x - 1)})^{2} = (14 - 4x)^{2}$

$(3x-2)(5x - 1) = (14 - 4x)^{2}$

$15x^{2} -3x - 10x + 2 = 196 - 112x + 16x^{2} \\15x^{2} - 13x + 2 = 196 - 112x + 16x^{2}$

$x^{2} - 99x + 194 = 0$

$D = 9801 - 4 * 1 * 194 = 9801 - 776 = 9025 = 95^{2}$

$x_{1} = \frac{99 + 95}{2} = \frac{194}{2} = 97$

$x_{2} = \frac{99 - 95}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверяем корни:

$x = x_{1} = 97$

$\sqrt{3x - 2} + \sqrt{5x - 1} = 5$

$\sqrt{3* 97 - 2} + \sqrt{5*97 - 1} = 5$

$\sqrt{291 - 2} + \sqrt{485 - 1} = 5$

$\sqrt{289} + \sqrt{484} = 5$

$17 + 22 = 5$

$39 \neq 5$

То есть $x = x_{1} = 97$ не является корнем уравнения.

$x = x_{2} = 2$

$\sqrt{3x - 2} + \sqrt{5x - 1} = 5$

$\sqrt{3 * 2 - 2} + \sqrt{5 * 2 - 1} = 5$

$\sqrt{6 - 2} + \sqrt{10 - 1} = 5$

$\sqrt{4} + \sqrt{9} = 5$

$2 + 3 = 5\\5 = 5$

То есть $x = x_{2} = 2$ является корнем уравнения.

Answer 2

Ответ:

$\sqrt{(3x - 2)} + \sqrt{(5x - 1)} = 5 \\ \sqrt{3x - 2} + \sqrt{5x - 1} = 5 \\ \sqrt{3x - 2} = 5 - \sqrt{5x - 1} \\ 3x - 2 = 25 - 10 \sqrt{5x - 1} + 5x - 1 \\ 3x - 2 = 24 - 10 \sqrt{5x - 1} + 5x \\ 10 \sqrt{5x - 1} = 24 + 5x - 3x + 2 \\ 10 \sqrt{5x - 1} = 26 + 2x \\ 5 \sqrt{5x - 1} = 13 + x \\ (5 \sqrt{5x - 1} ) {}^{2} = (13 + x) {}^{2} \\ 25(5x - 1) = 169 + 26x + {x}^{2} \\ 125x - 25 = 169 + 26x + x {}^{2} \\ 125x - 25 - 169 - 26x - x {}^{2} = 0 \\ 99x - 194 - x {}^{2} = 0 \\ - x {}^{2} + 99x - 194 = 0 \\ x {}^{2} - 99x + 194 = 0 \\ x {}^{2} - 2x - 97x + 194 = 0 \\ x \times (x - 2) - 97\times (x - 2) = 0 \\ (x - 2) \times (x - 97) = 0 \\ x - 2 = 0 \: \: \: \: \: \: x - 97 = 0 \\ x = 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x = 97 \\ - - - - - - - - - - - - - - \\ \sqrt{3 \times 2 - 2} + \sqrt{5 \times 2 - 1} = 5 \\ \sqrt{4} + \sqrt{9} = 5 \\ 2 + 3 = 5 \\ 5 = 5 \\ \\ \sqrt{3 \times 97 - 2} + \sqrt{5 \times 97 - 1} = 5 \\ \sqrt{289} + \sqrt{484} = 5 \\ 17 + 22 = 5$

39 ≠ 5

х, равный 97 не является корнем этого уравнения

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ \: \ = = > \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \otvet : \: \x=2$