Question

$sin {}^{2} 2x + sin {}^{2} 2x = sin {}^{2} 3x$
Найти х​

Answer 1

Ответ:

$x_{1} = \pi n,n \in Z$

$x_{2} = б arrcos(\frac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4} ) + 2\pi n, n \in Z\\x_{3} = б arrcos(\frac{-\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4} ) + 2\pi n, n \in Z$

$x_{4} = б arrcos(\frac{\sqrt{2} -\sqrt{6} }{4} ) + 2\pi n, n \in Z\\x_{5} = б arrcos(\frac{\sqrt{6} +\sqrt{2} }{4} ) + 2\pi n, n \in Z$

Объяснение:

Смотрите фотографии!

Answer 2

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$sin^22x+sin^22x=sin^23x\\2sin^22x=sin^23x$

Теперь применим формулу понижения степени:

$1-cos4x=\dfrac{1-cos6x}{2}\\2-2cos4x=1-cos6x\\cos6x-2cos4x+1=0$

Вспомним про формулы косинуса шестерного и четверного угла (или выведем их; это несложно сделать самостоятельно).

Сразу вводим замену вида $cosx=t$.

$32t^6-48t^4+18t^2-1-16t^4+16t^2-2+1=0$

Упростим полученное уравнение:

$32t^6-48t^4+18t^2-1-16t^4+16t^2-2+1=0\\16t^6-32t^4+17t^2-1=0$

Заметим, что если x - корень уравнения, то -x тоже.

Тогда два его корня угадываются: -1 и 1.

Благодаря этому, уравнение легко раскладывается на множители:

$(t-1)(t+1)(16t^4-16t^2+1)=0$

Решая его и возвращаясь к обратной замене, имеем:

$x=n\pi,\;n\in Z\\x=\pm\arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)+2k\pi,\; k\in Z\\x=\pm\arccos\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)+2l\pi,\; l\in Z\\x=\pm\arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)+2m\pi,\; m\in Z\\x=\pm\arccos\left(\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\right)+2p\pi,\; p\in Z$

Приведем теперь ответ к человеческой форме:

$x=n\pi,\;n\in Z\\\\x=\pm\dfrac{7\pi}{12}+2k\pi,\;k\in Z\\\\x=\pm\dfrac{5\pi}{12}+2l\pi,\;l\in Z\\\\x=\pm\dfrac{\pi}{12}+2m\pi,\;m\in Z\\\\x=\pm\dfrac{11\pi}{12}+2p\pi,\;p\in Z$

Уравнение решено!