Question

Y''''-3y'''+3y''-y'=2x

Answer 1

$y''''-3y'''+3y''-y'=2x$

Составим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$y''''-3y'''+3y''-y'=0$

Составим характеристическое уравнение:

$\lambda^4-3\lambda^3+3\lambda^2-\lambda=0$

$\lambda(\lambda^3-3\lambda^2+3\lambda-1)=0$

$\lambda(\lambda-1)^3=0$

$\lambda_1=0;\ \lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=1$

Общее решение однородного уравнения:

$Y=C_1e^{0x}+C_2e^x+C_3xe^x+C_4x^2e^x$

$Y=C_1+C_2e^x+C_3xe^x+C_4x^2e^x$

Найдем частное решение данного неоднородного уравнения в виде:

$\overline{y}=(Ax+B)x=Ax^2+Bx$

Найдем производные:

$\overline{y}'=2Ax+B$

$\overline{y}''=2A$

$\overline{y}'''=\overline{y}''''=0$

Подставим в уравнение:

$0-3\cdot0+3\cdot 2A-2Ax-B=2x$

$6A-B-2Ax=2x$

Получаем систему:

$\left\{\begin{array}{l}6A-B=0\\-2A=2\end{array}$

Из второго уравнения:

$A=-1$

Из первого уравнения:

$B=6A=-6$

Таким образом, частное решение:

$\overline{y}=-x^2-6x$

Общее решение данного неоднородного уравнения:

$y=Y+\overline{y}=C_1+C_2e^x+C_3xe^x+C_4x^2e^x-x^2-6x$