Question

Какой это тип уравнений и как их решать? Пожалуйста, с объяснением. В понедельник сессия.

Answer 1

Данный тип уравнений чаще всего называться дробным уравнением с одним параметром.

Решается он, очень легко. Все решение можно свести к такому плану:

1. Сводим уравнение к пропорции
2. Умножаем крайние и средние члены, получив при этом еще одно уравнение
3. Решаем получившиеся уравнение

Разберем на практике:

1)

$\frac{x-4}{2x+1} = \frac{x-9}{x}$

Здесь мы можем пропустить первый пункт нашего плана, так как уже имеем пропорцию¹.

Итак - как же решать пропорцию?.. Воспользуемся ее основным свойством²:

$(x-4) * x = (2x + 1)(x-9)$

Перейдем к третьему пункту: Решим полученное уравнение. Для этого раскроем скобки³:

$x*x - 4*x = 2x * x + 2x * (-9) + 1 * x + 1 * (-9)$

Сократим:

$x^2 - 4x = 2x^2 -18x + x -9$

Теперь наша задача перенести значения в одну "сторону" (при этом следует не забывать изменять знак на противоположный):

$x^2 - 4x - 2x^2 + 18x -x + 9 = 0$

Сократим:

$-x^2 + 13x + 9 = 0$

Получаем квадратное уравнение⁴. Решим его:

$D = b^2 + 4ac\\D = 13^2 - 4 * (-1) * 9\\D =205$

$x_{1} = \frac{-13 + \sqrt(205)}{-2} = \frac{-(13 + \sqrt(205)}{-2} = \frac{13 + \sqrt(205)}{2} \\x_{2} = \frac{-13 - \sqrt(205)}{-2}= \frac{-(13 - \sqrt(205)}{-2} = \frac{13 - \sqrt(205)}{2}$

Это и есть два ответа.

2)

$\frac{x}{x+1} + 1 = \frac{1}{x-1} + 4$

В этом же случае нам надо "воссоздать" пропорцию:

Добавим дроби и цифры⁵:

$\frac{x}{x+1} + 1 = \frac{1}{x-1} + 4\\\frac{x}{x+1} + \frac{1}{1} = \frac{1}{x-1} + \frac{4}{1} \\\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{1}{x-1} + \frac{4 * (x-1)}{x-1}\\\frac{x + x + 1}{x + 1} = \frac{1 + 4x - 4}{x-1}\\\frac{2x+1}{x+1} = \frac{4x-3}{x-1}$

О чудо - получаем пропорцию! Переходим ко второму пункту (то же решение, что и в первом задании):

$(2x+1)(x-1) = (4x-3)(x+1)$

$2x^2 - 2x+x -1 = 4 x^2 + 4x -3x - 3$

$-2x^2-2x+2 = 0$

$D = b^2 - 4ac$

$D = (-2)^2 - 4 * (-2) * 2$

$D = 4 + 16 = 20$

$x_{1} = \frac{-2 + \sqrt(20)}{-2} = \frac{-2 + 2\sqrt{5} }{-2} = \frac{1 - \sqrt{5} }{2} \\x_{2} = \frac{-2 - \sqrt(20)}{-2} = \frac{-2 - 2\sqrt{5} }{-2} = \frac{1 + \sqrt{5} }{2}$

Это и есть два ответа.

(Решение остальных двоих примеров в прикрепленном файле, советую решить их самому и свериться со мной)

Удачной сессии! :)

_________________________

Пропорция¹ - отношение двух пар чисел: $\frac{a}{b} =\frac{c}{d}$ (что-то поделить на что-то, равно чему-то поделить на что-то). a и d - крайние члены, b и c - средние члены.

Основное свойство пропорции²:

Произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Это значит, что если у нас есть пропорция $\frac{a}{b} =\frac{c}{d}$, то $a * d = b * c$.

Как раскрываться скобки³:

Есть два типа уравнений, в которых нам понадобится раскрывать скобки в процессе решения подобных примеров:

1. $a * (b + c)$
2. $(a + b) * (c + d + ...)$

Сначала рассмотрим первый:

Наша задача поочередно умножить a на каждую переменную второй скобки:

$a * (b + c) = a * b + a * c$

Теперь второй:

Тут наша задача такая же, но теперь мы умножаем сначала a на все переменные второй скобки, а потом b на все переменные второй скобки:

$(a + b) * (c + d) = a * c + a*d+b*c+d*d$

Квадратное уравнение⁴ - уравнение вида $ax^2 + bx + c$, где a, b и c - коэффициенты (цифры, стоящие перед x², x и без x вовсе).

Решается квадратное уравнение обычно с помощью соответственной формулы:

Для начала находится дискриминант (D) (такое значение, которое нам пригодится в бедующем):

$D = b^2 - 4ac$

Затем используется формула (x₁ и x₂ - корни уравнения (решение)):

$x_{1} = \frac{-b + \sqrt(D)}{2a} \\x_{2} = \frac{-b - \sqrt(D)}{2a}$

Как добавлять дроби и цифры⁵:

Имеем уравнение $a + \frac{b}{c}$. Мы помним, что число, деленное на 1 равно самому себе (2 : 1 = 2, 3 : 1 = 3 и тд.). Также мы помним, что знак дроби означает деление. То есть получаем:

$a + \frac{b}{c} = \frac{a}{1} + \frac{b}{c}$

Теперь добавим две дроби, приведя их к общему знаменателю (знаменатель у двоих дробей должен быть одинаковым):

$\frac{a}{1} + \frac{b}{c} = \frac{a * c}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a * c + b}{c}$