Question

Решите, пожалуйста. Даю 50 баллов. ​

Answer 1

$\displaystyle\bf \boxed{a^2-b^2=(a-b)(a+b)} \\\\1)\bigg(1- \frac{1}{2^2}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{3^2} \bigg)......\bigg(1-\frac{1}{100^2} \bigg) =\\\\\\\bigg(1-\frac{1}{2} \bigg)\bigg(1+\frac{1}{2} \bigg) \bigg(1-\frac{1}{3} \bigg) \bigg(1+\frac{1}{3} \bigg)....\bigg(1-\frac{1}{100} \bigg)\bigg(1+\frac{1}{100} \bigg)=\\\\\\\frac{1}{2} *\underline{\frac{3}{2} *\frac{2}{3}} *\underline{\frac{4}{3} *\frac{3}{4} }......*\underline{\frac{100}{99} *\frac{99}{100}} *\frac{101}{100}$                                     можно заметить что все подчеркнутые дроби сократятся и останется только первая и последняя дробь то есть                                                        $\displaystyle\bf \frac{1}{2} *\frac{101}{100} =\boxed{\frac{101}{200}}$                                                                             в остальных     примерах аналогично  все дроби сократятся и останется только первая и последняя   поэтому    я запишу только ответ                                                                                                                                                                                                                              $\displaystyle\bf 2)\bigg(1- \frac{1}{3^2}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{4^2} \bigg)......\bigg(1-\frac{1}{101^2} \bigg) =\\\\\\\frac{2}{3} *\underline{\frac{4}{3} *\frac{3}{4}} *\underline{\frac{5}{4} *\frac{4}{5} }......*\underline{\frac{101}{100} *\frac{100}{101}} *\frac{102}{101}=\frac{2}{3} *\frac{102}{101} =\boxed{\frac{68}{101}}\\\\\\\\\displaystyle\bf 3)\bigg(1- \frac{1}{4^2}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{5^2} \bigg)......\bigg(1-\frac{1}{102^2} \bigg) = \frac{3}{4} *\frac{103}{102} =\boxed{\frac{103}{136}}$                                                                                                                                                       $\displaystyle\bf 4)\bigg(1- \frac{1}{5^2}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{6^2} \bigg)......\bigg(1-\frac{1}{103^2} \bigg) =\frac{4}{5} *\frac{104}{103} =\boxed{\frac{416}{515} }$