Question

Найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием:

$\int\limits^a_b {((arctg (2x)^(1/2))/(1+4x^2)} \, dx$$\int\limits^a_b {(x^3-4)/(x^2+6x+9)} \, dx ^$

Answer 1

ОТВЕТ: 1) $\dfrac{arctg2x\sqrt{arctg2x}}{3}+C$; 2) $\dfrac{x^2}{2}-6x+27\ln |x+3|+\dfrac{31}{x+3}+C$.

Пошаговое объяснение:

1) Сделаем замену:

$t=arctg2x\Rightarrow dt=\dfrac{2dx}{1+4x^2}$. Получаем интеграл:

$\int\dfrac{\sqrt{t}}{2}dt=\dfrac{1}{2}\int t^{\frac{1}{2}} dt= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{t^\frac{3}{2} }{\frac{3}{2} } +C=\dfrac{t\sqrt t}{3}+C=\dfrac{arctg2x\sqrt{arctg2x}}{3}+C.$

2) Максимально упростим дробь. Выделим целую часть:

$\dfrac{x^3-4}{x^2+6x+9}=\dfrac{x^3+6x^2+9x-(6x^2+36x+54)+27x+50}{x^2+6x+9}=\\\\=\dfrac{x(x^2+6x+9)-6(x^2+6x+9)+27x+50}{x^2+6x+9}=x-6+\dfrac{27x+50}{(x+3)^2}.$

Упростим полученную дробь. Запишем её в виде суммы двух дробей вида $\dfrac{27x+50}{(x+3)^2} =\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{(x+3)^2}=\dfrac{A(x+3)+B}{(x+3)^2} .$

Первая и последняя дроби с равными знаменателями равны - соответственно, равны их числители:

$27x+50=Ax+3A+B$, откуда

$\begin{cases}A=27,\\3A+B=50\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}A=27,\\B=-31.\end{cases}$

Окончательно интеграл можем записать в виде суммы табличных интегралов:

$\int\dfrac{x^3-4}{x^2+6x+9} dx=\int(x-6+\dfrac{27}{x+3}-\dfrac{31}{(x+3)^2})dx=\dfrac{x^2}{2}-6x+27\ln |x+3|+\dfrac{31}{x+3}+C.$