Question

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. ( отвечать с рисунком )

Answer 1

Ответ:

$S=48\sqrt{3}$

Объяснение:

AB=BC=CD=8

Угол ∠AMD = 30°

Найдём AM

$AM=\sqrt{AC^{2}-CM^{2} } =\sqrt{8^{2}-4^{2} } =\sqrt{64-16} =\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

Найдём CO по теореме синусов

$\frac{AC}{sin(AOC)}= \frac{CO}{sin(CAO)}\\\frac{8}{sin(120 ^\circ)}= \frac{CO}{sin(30 ^\circ)}\\\frac{8*2}{\sqrt{3} }= 2*CO\\CO=\frac{8}{\sqrt{3} }$

Найдём OM по теореме Пифагора

$OM=\sqrt{CO^{2}-CM^{2} } =\sqrt{(\frac{8}{\sqrt{3}} )^{2}-4^{2} } =\sqrt{\frac{64}{3} -16}=\sqrt{\frac{64-48}{3} } =\sqrt{\frac{16}{3 } } =\frac{4}{\sqrt{3} }$

Треугольник DOM - прямоугольный, угол ∠DMO = 30°, отсюда имеем

$\frac{OM}{DM}=sin(DMO) \\DM = \frac{OM}{sin(DMO) }=\frac{4*2}{\sqrt{3} } = \frac{8}{\sqrt{3} }$

Площадь боковой грани будет

$S1=\frac{1}{2}*CB*DM= \frac{1}{2}*8*\frac{8}{\sqrt{3} } =\frac{32}{\sqrt{3}}$

Площадь основания

$S2=\frac{1}{2}*AM*CB=\frac{1}{2} *4\sqrt{3} *8 = 16\sqrt{3}$

Общая площадь будет

$S=3*S1+S2=\frac{3*32}{\sqrt{3} } +16\sqrt{3} =32\sqrt{3}+16\sqrt{3} =48\sqrt{3}$