Question

Помогите решить задания

Answer 1

Ответ:

9. Площадь полной поверхности $72(\sqrt{2} + 1 )$ метров квадратных.

10.

Площадь боковой поверхности $6\sqrt{3}\pi$ дециметров квадратных.

Объем $3\sqrt{3}\pi$ дециметров кубических.

Пошаговое объяснение:

9.

Дано: ABCD - квадрат, AC = 12 м, ∠(FAB, ABCD) = 45°, правильная четырехугольная пирамида FABCD

Найти: S - ?

Решение: Так как по условию ABCD - квадрат, то по свойствам квадрата все его стороны равны, пусть сторона квадрата AB = x, следовательно AB = BC = CD = AD = x. Рассмотрим треугольник ΔABC, который является прямоугольным так как по одному из определений квадрат это ромб с углом 90°, тогда по теореме Пифагора:

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = x^{2} + x^{2} = 2x^{2} \Longrightarrow x = \sqrt{\frac{AC^{2} }{2} } = \sqrt{\frac{144}{2} } = \sqrt{72}$ м.

К стороне AB проведем апофему в точку K. По свойству правильной четырехугольной пирамиды FABCD, точка F проектируется в центр пересечения диагоналей квадрата. Пусть диагонали квадрата пересекаются в точке O, тогда точка F проектируется в точку O и отрезок FO - высота пирамиды. По свойству квадрата его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, тогда BD = AC и OA = OC = OD = OB = AC : 2 = 12 : 2= 6м. По теореме о трех перпендикулярах так как, FK ⊥ AB как апофема, OF ⊥ ABCD по построению, то OK ⊥ AB.

Рассмотрим треугольник ΔAOB. Так как AO = OB, то треугольник ΔAOB является равнобедренным. Так как OK ⊥ AB, то OK - высота треугольника ΔAOB проведенная к его основанию AB, следовательно по свойству равнобедренного треугольника высота проведенная к основанию равнобедренного треугольника является биссектрисой и медианой, то есть BK = KA = AB : 2 = x : 2 = $\frac{\sqrt{72} }{2} = \frac{\sqrt{2* 36} }{2} = \frac{\sqrt{36} *\sqrt{2} }{2} = \frac{6\sqrt{2} }{2} = 3\sqrt{2}$ м. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOKA (OK ⊥ AB). По теореме Пифагора: $OK = \sqrt{OA^{2} - AK^{2} } = \sqrt{6^{2} - (3\sqrt{2} )^{2}} = \sqrt{36 - 18} = \sqrt{18}$ м.

Угол между двумя плоскостями по определению - это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях, то есть, так как FK ⊥ AB и OK ⊥ AB, то ∠OKF = ∠(FAB, ABCD) = 45°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔFOK. $\cos \angle OKF = \frac{OK}{KF} \Longrightarrow FK = \frac{OK}{\cos \angle OKF} = \frac{3\sqrt{2} }{\frac{\sqrt{2} }{2} } = \frac{3 * 2 * \sqrt{2} }{\sqrt{2} } = 3 * 2 = 6$ м.

Пусть площадь боковой поверхности правильной пирамиды $S_{1}$.

$S_{1} = \frac{P_{ABCD} * FK}{2} = \frac{(AB + BC + AD + CD) * FK}{2} = \frac{4x*FK}{2} = \frac{4 * 6\sqrt{2} * 6}{2} =\frac{144\sqrt{2} }{2} = 72\sqrt{2}$ метров квадратных. Пусть площадь основания пирамиды $S_{2}$, а так как основания пирамиды это квадрат, то по формуле для площади квадрата: $S_{2} = S_{ABCD} = AB^{2} = (\sqrt{72}) ^{2} = 72$ метров квадратных.

$S = S_{1} + S_{2} = 72\sqrt{2} + 72 = 72(\sqrt{2} + 1 )$ метров квадратных.

10.

Дано: ∠ABO = 30°, OB = 3 дм, O - центр окружности

Найти: V,S - ?

Решение: По определению отрезок OA - высота конуса так как O - центр окружности которая лежит в основании конуса, тогда треугольник ΔAOB - прямоугольный, следовательно:

$\cos \angle ABO = \frac{OB}{AB} \Longrightarrow AB = \frac{OB}{\cos \angle ABO} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3} }{2} } = \frac{6}{\sqrt{3} } = \frac{6 \sqrt{3} }{\sqrt{3} * \sqrt{3} } =\frac{6\sqrt{3} }{3} = 2\sqrt{3}$ дм.

$\text{tg}\angle ABO = \frac{AO}{OB} \Longrightarrow AO = OB * \text{tg}\angle ABO = \frac{3}{\sqrt{3} } = \frac{3 * \sqrt{3} }{\sqrt{3} * \sqrt{3} } = \frac{3\sqrt{3} }{3} = \sqrt{3}$ дм.

$S = \pi *OB * AB = 6\sqrt{3}\pi$ дециметров квадратных.

$V = \frac{\pi * OB^{2} * OA}{3} = \frac{9\sqrt{3}\pi }{3} = 3\sqrt{3}\pi$ дециметров кубических.