Question

Даны натуральные числа a, b, c. Докажите, что если число — (a√3 + b)/(b√3 + c) рационально, то число (a² + b² + c²)/(a + b + c) — целое. Даю 20 баллов

Answer 1

Заметим, что $\frac{a\sqrt{3}+b}{b\sqrt{3}+c} = \frac{(a\sqrt{3}+b)(b\sqrt{3}-c)}{3b^2-c^2} = \frac{(b^2-ac)\sqrt{3}+3ab-bc}{3b^2-c^2}$. Рациональность этого числа равносильна тому, что $b^2=ac$. Исходную дробь можно сократить, тогда  получим, что $a,c$ взаимно просты, но для строгости будем считать, что $a=km,\;c=kn,\;(m,n)=1$. Тогда $b^2=k^2mn$, откуда в силу взаимной простоты следует, что $m=p^2,\;n=q^2$. Имеем: $\frac{k^2m^2+k^2mn+k^2n^2}{km+k\sqrt{mn}+kn} = k\cdot\frac{p^4+p^2q^2+q^4}{p^2+pq+q^2}$. Поскольку $k$ целое, то достаточно показать, что $\frac{p^4+p^2q^2+q^4}{p^2+pq+q^2}$ целое число. В самом деле: $\frac{p^4+p^2q^2+q^4}{p^2+pq+q^2} = \frac{(p^2-q^2)}{(p+q)(p-q)}\frac{p^4+p^2q^2+q^4}{p^2+pq+q^2} = \frac{p^6-q^6}{(p+q)(p^3-q^3)}=\frac{p^3+q^3}{p+q} = p^2- pq+q^2$.