Question

$3x+5y^{2} =20\\ xy^{2} =5$ Решите систему

Answer 1

Сделаем замену $y^2=t$, квадрат здесь только для того, чтобы запугать.

$\begin{cases}3x+5t=20\\ xt=5\end{cases}$

Выразим из второго уравнения $t$ и подставим в первое:

$t=\dfrac{5}{x}\\3x+5 \cdot \dfrac{5}{x}=20\\3x+\dfrac{25}{x}=20\\3x^2-20x+25=0\\D=400-300=100; \quad \sqrt D=10\\x_1=\dfrac{20+10}{6}=5\\x_2=\dfrac{20-10}{6}=\dfrac{5}{3}$

Первый корень: $x=5$

$xt=5t=5\\t=1\\y^2=1\\y=\pm 1$

Второй корень:

$x=5/3$

$\dfrac{5}{3}t=5\\\dfrac{1}{3}t=1\\t=3\\y^2=3\\y=\pm \sqrt 3$

Ответ: $(5; \pm 1)$ и $\left(\dfrac{5}{3}; \pm \sqrt 3\right)$

Answer 2

Ответ:

$\displaystyle (5,-1),(5,1),(\frac{5}{3} ,-\sqrt{3} ),(\frac{5}{3} ,\sqrt{3} )$

Объяснение:

$\displaystyle \left \{ {{3x+5y^{2}=20} \atop {xy^{2}=5}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{x=\frac{20-5y^{2}}{3} } \atop {(\frac{20-5y^{2}}{3})*y^{2}=5}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{x=\frac{20-5y^{2}}{3} } \atop {\frac{20y^{2}-5y^{4}}{3}=5}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{x=\frac{20-5y^{2}}{3} } \atop {5y^{2}*(4-y^{2})=5*3}} \right.$

Решим отдельно второе уравнение системы

$\displaystyle 4y^{2} -y^{4}=3$

Пусть y²=t, t≥0, тогда

$\displaystyle t^{2}-4t+3=0$

$\displaystyle D=(-4)^{2}-4*1*3=16-12=4=2^{2}$

$\displaystyle t_{1}=\frac{4+2}{2*1} =\frac{6}{2}=3$

$\displaystyle t_{2}=\frac{4-2}{2*1} =\frac{2}{2}=1$

Вернёмся к замене:

Если y²=3,то y=±√3

Если y²=1,то y=±1

Теперь найдём х

а) y=1

$\displaystyle x=\frac{20-5*1^{2}}{3} =\frac{15}{3} =5$

б) y=-1

$\displaystyle x=\frac{20-5*(-1)^{2}}{3} =\frac{15}{3} =5$

в) y=√3

$\displaystyle x=\frac{20-5*(\sqrt{3} )^{2}}{3} =\frac{5}{3}$

г) y=-√3

$\displaystyle x=\frac{20-5*(-\sqrt{3} )^{2}}{3} =\frac{5}{3}$