Question

Найдите ту первообразную функции f(x)=e²ˣ-cos x, график которой проходит через начало координат

Answer 1

$f(x)=e^{2x}-\cos x$

Общий вид первообразных:

$\displaystyle \int(e^{2x}-\cos x) dx=\dfrac{1}{2}e^{2x}-\sin x+C$

$e^{2x}$ интегрируется как обычная показательная функция, если что:

$e^{2x}=(e^2)^x\\ \displaystyle\int (e^2)^x dx=\dfrac{e^{2x}}{\ln e^2}+C=\dfrac{1}{2}e^{2x}+C$

Подставим в уравнение:

$y=\dfrac{1}{2}e^{2x}-\sin x+C$ значения $y=0$ и $x=0$, чтобы найти константу:

$\dfrac{1}{2}e^0-\sin 0+C=0\\\dfrac{1}{2}+C=0\\C=-\dfrac{1}{2}$

Ответ: $F(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}-\sin x-\dfrac{1}{2}$