Question

Сколькими способами можно раздать 20 одинаковых конфет 4 детям, если каждый должен иметь хотя-бы по одной конфете?​

Answer 1

Сначала раздаем каждому ребенку по одной конфете - чтобы не плакали. Далее - полный беспредел. Можем своим любимцам дать кучу конфет, а которые не дают взрослым спокойно общаться между собой - пусть остаются с одной конфетой. А можно и поровну. Итак, 16 конфет и четыре коробки. Договоримся описывать ситуацию, когда в первую коробку кладем, скажем, 5 конфет, во вторую 10, в третью 0, в четвертую 1 конфету картинкой ооооо|oooooooooo||1, а если все конфеты даем четвертому ребенку - картинкой |||oooooooooooooooo.

Таким образом, имеем 19 мест, и надо выбрать 3 места для палочек (остальные 16 мест - для кружочков-конфет). А это уже стандартная каомбинаторная задача, решаемая с помощью числа сочетаний.

Ответ: $C_{19}^3=\frac{19!}{3!\cdot 16!}=\frac{19\cdot 18\cdot 17}{3\cdot 2}=19\cdot 3\cdot 17=969$