Question

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку А( -1;3;-2) и параллельной плоскости, заданной уравнением 3x+y-2z=0

Answer 1

Дана точка M0(-1, 3, -2) и  плоскость (1).

3 x +  y − 2 z = 0.                                                                                (1)

Общее уравнение заданной плоскости имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0                                                                        (2)

Все параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы. Поэтому для построения параллельной к (1) плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) нужно взять в качестве нормального вектора искомой плоскости, нормальный вектор n=(A, B, C) плоскости (1). Далее нужно найти такое значение D, при котором точка M0(x0, y0, z0) удовлетворяла уравнению плоскости (2):

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.                                                                 (3)

Решим (3) относительно D:

D = −(Ax0 + By0 + Cz0)                                                                    (4)

Из уравнения (1) запишем координаты нормального вектора:

A=3, B=1, C=−2.

Подставляя координаты точки M0 и координаты нормального вектора в (4), получим:

D = −(Ax0 + By0 + Cz0) = −(−1)·3 + 3·1 + (−2)·(−2)) = −4.  

Подставляя значения A, B, C, D в (2), получим уравнение плоскости, проходящей через точку M0(-1, 3, -2) и параллельной плоскости (1):

3 x + y −2 z − 4 = 0.

Ответ: 3 x + y − 2 z − 4 = 0.