Question

x ∈ [0;π], найти больший корень уравнения 2cos(2x-π/3)=1

Answer 1

Ответ:

x=п

Объяснение:

$\displaystyle 2cos(2x-\frac{\pi }{3})=1$

$\displaystyle 2*(cos(2x)*cos(\frac{\pi }{3})+sin(2x)*sin(\frac{\pi }{3}))=1$

$\displaystyle cos(2x)+\sqrt{3} sin(2x)=1$

$\displaystyle cos^{2}(x)-sin^{2}(x)+2\sqrt{3} sin(x)cos(x)=sin^{2}(x)+cos^{2}(x)$

$\displaystyle -2sin^{2}(x)+2\sqrt{3}sin(x)cos(x)=0$

$\displaystyle 2sin(x)*(-sin(x)+\sqrt{3}cos(x))=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю

а) $\displaystyle 2sin(x)=0$

$\displaystyle sin(x)=0$

$\displaystyle x=\pi n$, n∈Z

б)  $\displaystyle \sqrt{3} cos(x)-sin(x)=0| :cos(x)\neq 0$

$\displaystyle \sqrt{3}-tg(x)=0$

$\displaystyle tg(x)=\sqrt{3}$

$\displaystyle x=\frac{\pi}{3} +\pi n$, n∈Z

Чтобы найти больший корень  нарисуем тригонометрическую окружность(см. вложение)

Из рисунка видно, что большим корнем на отрезке x ∈ [0;π] является x=п