Question

Помогите решить пожалуйста два номера

Answer 1

8. y'' + 4y' = 2e^(-4x)

Неоднородное линейное уравнение 2 порядка.

Решение: y = y0 + y*

Здесь y0 - решение однородного уравнения:

y'' + 4y' = 0

y* - частное решение неоднородного уравнения

Характеристическое уравнение:

k^2 + 4k = 0

k1 = 0; k2 = -4

y0 = C1*e^(0x) + C2*e^(-4x) = C1 + C2*e^(-4x)

Так как правая часть в правой части e^(ax), и a = k2, то частное

y* = Ax*e^(-4x); (y*)' = A*e^(-4x) - 4Ax*e^(-4x)

(y*)'' = -4A*e^(-4x) - 4A*e^(-4x) + 16Ax*e^(-4x) = -8A*e^(-4x) + 16Ax*e^(-4x)

Подставляем в уравнение:

-8A*e^(-4x) + 16Ax*e^(-4x) + 4(A*e^(-4x) - 4Ax*e^(-4x)) = 2e^(-4x)

-8A + 16Ax + 4A - 16Ax = 2

-4A = 2

A = -0,5

y* = -0,5x*e^(-4x)

Ответ: y = y0 + y* = C1 + C2*e^(-4x) - 0,5x*e^(-4x)

9. (xy' - y)*arctg(y/x) = x

Делим все на х

(y' - y/x)*arctg(y/x) = 1

Однородное линейное уравнение 1 порядка.

Замена y/x = u; y = ux; y' = u'*x + u

(u'*x + u - u)*arctg(u) = 1

u'*x*arctg(u) = 1

Уравнение с разделяющимися переменными

du/dx*arctg(u) = 1/x

arctg(u) du = dx/x

$\int {arctg(u)} \, du =\int {\frac{dx}{x} }$

$u*arctg(u)-\frac{1}{2}*ln(u^2+1)=ln|x|+ln(C)$

$u*arctg(u)=ln\sqrt{u^2+1}+ln|Cx|=ln|Cx\sqrt{u^2+1} |$

Обратная замена: u = y/x

$\frac{y}{x}*arctg\frac{y}{x} =ln|Cx\sqrt{\frac{y^2}{x^2} +1} | =ln|Cx\sqrt{\frac{y^2+x^2}{x^2} } |=ln|Cx*\frac{\sqrt{y^2+x^2} }{x} |$

Ответ: $y*arctg\frac{y}{x} =x*ln|C\sqrt{y^2+x^2} |$