Ответы
8. y'' + 4y' = 2e^(-4x)
Неоднородное линейное уравнение 2 порядка.
Решение: y = y0 + y*
Здесь y0 - решение однородного уравнения:
y'' + 4y' = 0
y* - частное решение неоднородного уравнения
Характеристическое уравнение:
k^2 + 4k = 0
k1 = 0; k2 = -4
y0 = C1*e^(0x) + C2*e^(-4x) = C1 + C2*e^(-4x)
Так как правая часть в правой части e^(ax), и a = k2, то частное
y* = Ax*e^(-4x); (y*)' = A*e^(-4x) - 4Ax*e^(-4x)
(y*)'' = -4A*e^(-4x) - 4A*e^(-4x) + 16Ax*e^(-4x) = -8A*e^(-4x) + 16Ax*e^(-4x)
Подставляем в уравнение:
-8A*e^(-4x) + 16Ax*e^(-4x) + 4(A*e^(-4x) - 4Ax*e^(-4x)) = 2e^(-4x)
-8A + 16Ax + 4A - 16Ax = 2
-4A = 2
A = -0,5
y* = -0,5x*e^(-4x)
Ответ: y = y0 + y* = C1 + C2*e^(-4x) - 0,5x*e^(-4x)
9. (xy' - y)*arctg(y/x) = x
Делим все на х
(y' - y/x)*arctg(y/x) = 1
Однородное линейное уравнение 1 порядка.
Замена y/x = u; y = ux; y' = u'*x + u
(u'*x + u - u)*arctg(u) = 1
u'*x*arctg(u) = 1
Уравнение с разделяющимися переменными
du/dx*arctg(u) = 1/x
arctg(u) du = dx/x
Обратная замена: u = y/x
Ответ: