Question

помогите пожалуйста.....​

Answer 1

Ответ:

$\frac{768\pi}{7}$ (куб. ед.)

Пошаговое объяснение:

$y=x^3, x=0, y=8$  (1)

Найдём значение аргумента x функции $y=x^3$ при y=8, учитывая то, что слева тело ограничено x=0:

$8=x^3$, $x=2$

Т.е. тело, полученное вращением фигуры, ограниченной (1), ограничено слева: x=0; справа: x=2; сверху: y=8; и, т.к. вращение вокруг оси ОХ, снизу: y=-8.

Вычислим объём полученного тела следующим образом:

Из объёма цилиндра, полученного вращением прямоугольника ABCD вокруг оси OX вычтем объём фигуры, ограниченной линиями $y=x^3, y=0, x=2, x=0$ (2), рис.2

Вычислим объём цилиндра. Радиус основания равен AB=R=8; высота равна CD=H=2.

$V_1=\pi*R^2*H=\pi*8^2*2=128\pi$ (3)

Объём фигуры, ограниченной линиями (2), вычислим по формуле:

$V=\pi\int\limits^b_a {f^2(x)} \, dx$

Подставляем:

$V_2=\pi\int\limits^2_0 {(x^3)^2} \, dx =\pi\int\limits^2_0 {x^6 \, dx=\frac{\pi*x^7}{7}|\left {2} \atop {0}} \right. =\pi*\frac{2^7}{7}=\pi*\frac{128}{7}$  (4)

Итак, чтобы получить объём тела полученного вращением фигуры, ограниченной линиями (1), осталось из объёма цилиндра (3) отнять объём фигуры (4):

$V=V_1-V_2=128\pi-\frac{128\pi}{7}= \frac{(896-128)\pi}{7}= \frac{768\pi}{7}$ (куб. ед.)