Question

Помогите пожалуйста срочно

Answer 1

Ответ:

а) 2

б) 2

в) -1,5

Пошаговое объяснение:

а)

$\lim_{x \to -1} \frac{5x^2+4x-1}{2x^2+x-1}=[\frac{0}{0}]$

Разложим числитель и знаменатель на множители, решив соответствующие квадратные уравнения:

$5x^2+4x-1=0\\D=b^2-4ac=4^2+4*5=16+20=36\\x=\frac{-b \pm\sqrt{D} }{2a}\\ \begin{cases} x_1=\frac{-4+\sqrt{36} }{5*2}=\frac{-4+6}{10}=0.2\\x_2=\frac{-4-\sqrt{36} }{5*2}=\frac{-4-6}{10}=-1 \end{cases}\\\\5x^2+4x-1=5(x-0.2)(x+1)=(5x-1)(x+1)\\\\2x^2+x-1=0\\D=b^2-4ac=1^2+4*2=1+8=9\\x=\frac{-b \pm\sqrt{D} }{2a} \\\begin{cases} x_1=\frac{-1+\sqrt{9} }{2*2}=\frac{-1+3}{4}=0.5\\x_2=\frac{-1-\sqrt{9} }{2*2}=\frac{-1-3}{4}=-1 \end{cases}\\2x^2+x-1=2(x-0.5)(x+1)=(2x-1)(x+1)$

Теперь можем сократить дробь на множитель, равный нулю при x = -1:$\lim_{x \to -1} \frac{5x^2+4x-1}{2x^2+x-1}= \lim_{x \to -1} \frac{(5x-1)(x+1)}{(2x-1)(x+1)} =\lim_{x \to -1} \frac{5x-1}{2x-1} =\frac{-1*5-1}{-1*2-1}=2$

б)

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos2x}{x^2}=[\frac{0}{0}]=2 \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos2x}{2}* \frac{1}{x^2}=2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2x}{x^2} =\\2 \lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x} )^2=2 \lim_{x \to 0} 1^2=2*1=2$

Здесь я воспользовался первым замечательным пределом: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$

в)

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3+2x^2-4}{5-x-2x^3}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^3(3+\frac{2}{x}-\frac{4}{x^3}) }{x^3(\frac{5}{x^3}-\frac{1}{x^2}-2) }=\\\lim_{x \to \infty} \frac{3+\frac{2}{x}-\frac{4}{x^3} }{\frac{5}{x^3}-\frac{1}{x^2}-2 }= \lim_{x \to \infty} \frac{3+0-0}{0-0-2}=-1.5$