Question

Нужно решить задачу, помогите ​

Answer 1

Ответ:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n(n+1)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n^2+n}}$

Сравним с рядом    $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, b_{n}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n^2}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n}$   расходящийся

гармонический ряд .

  $a_{n}<b_{n}\ ,\ tak\ kak\ \ \dfrac{1}{\sqrt{n^2+n}}<\dfrac{1}{\sqrt{n^2}}=\dfrac{1}{n}$  

Расходится мажорантный ряд   ⇒  нельзя сделать вывод о сходимости миноранты . Применим предельный признак сравнения.

$\displaystyle \lim\limits _{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\cdot \frac{n}{1}=1\ne 0\ \ \Rightarrow$

оба ряда ведут себя одинаково, то есть расходятся .