Question

Докажите, что: 3+33+333+...+333...3(n раз)=(10^(n+1)-9n-10)/27

Answer 1

$3+33+...+\underbrace{33...3}_{n}=\dfrac{1}{3}\cdot (9+99+...+\underbrace{99...9}_{n})=\dfrac{1}{3}\cdot ((10-1)+(100-1)+\\ +...+(10^n-1))=\dfrac{1}{3}\cdot (10+10^2+...+10^n-n*1)=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{10\cdot(10^n-1)}{10-1}-n\right)=\\ =\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{10^{n+1}-10-9n}{9}\right)=\dfrac{10^{n+1}-9n-10}{27}$

Ч.т.д.

Answer 2

Применим метод математической индукции. При n=1 утверждение верно: левая часть равна 3, правая часть равна

$\frac{10^{1+1}-9\cdot 1-10}{27}=\frac{81}{27}=3.$

Пусть утверждение верно при некотором n=k; докажем, что тогда оно будет справедливо при n=k+1. Иными словами, нужно доказать, что

$\frac{10^{k+2}-9(k+1)-10}{27}-\frac{10^{k+1}-9k-10}{27}=\underbrace{333\ldots 3}_{k+1}.$

Но это проверяется элементарно:

$\frac{10\cdot 10^{k+1}-9k-9-10-10^{k+1}+9k+10}{27}}=\frac{9\cdot 10^{k+1}-9}{27}=\frac{10^{k+1}-1}{3}=\frac{999\ldots 9}{3}=\underbrace{333\ldots 3}_{k+1}.$