Question

10, 12, 13, помогите пж

Answer 1

Объяснение:

см фото,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Answer 2

10) 3(sin x - cos x)^2 - 2cos^2 (2x) = 3

3(sin^2 x - 2sin x*cos x + cos^2 x) - 2cos^2 (2x) = 3

3(1 - sin 2x) - 2cos^2 (2x) = 3

3 - 3sin 2x - 2(1 - sin^2 (2x)) - 3 = 0

- 3sin 2x - 2 + 2sin^2 (2x) = 0

Замена sin 2x = y

2y^2 - 3y - 2 = 0

(y - 2)(2y + 1) = 0

y1 = sin 2x = 2 - решений нет, потому что sin 2x ∈ [-1; 1]

y2 = sin 2x = -1/2

2x = -П/6 + 2П*n = -30° + 360°*n, n ∈ Z

x1 = -15° + 180°*n, n ∈ Z

Корни на промежутке [90°, 270°] при n = 1:  x1 = - 15° + 180° = 165°

2x = 7П/6 + 2П*n = 210° + 360°*n, n ∈ Z

x2 = 105° + 180°*n, n ∈ Z

Корни на промежутке [90°, 270°] при n = 0: x2 = 105°

Сумма корней на промежутке [90, 270]: 165° + 105° = 270°

Ответ: 270°

12) sin^4 x - 1 = √3/4*sin 2x - cos^4 x

sin^4 x + cos^4 x = √3/4*sin 2x

sin^4 x + 2sin^2 x*cos^2 x + cos^4 x - 2sin^2 x*cos^2 x - 1 = √3/4*sin 2x

(sin^2 x + cos^2 x)^2 - 1/2*4sin^2 x*cos^2 x - 1 = √3/4*sin 2x

1^2 - 1/2*sin^2 (2x) - 1 - √3/4*sin 2x = 0

- 1/2*sin^2 (2x) - √3/4*sin 2x = 0

Замена sin 2x = y и умножаем все на -2

y^2 + √3/2*y = 0

y*(y + √3/2) = 0

y1 = sin 2x = 0; 2x = П*k; x = П/2*k, k ∈ Z

Наименьший положительный корень при k = 1:

x1 = П/2 = 90°

y2 = sin 2x = -√3/2

2x = -П/3 + 2П*n, x = -П/6 + П*n, n ∈ Z

Наименьший положительный корень при n = 1:

x2 = - П/6 + П = 5П/6 = 150°

2x = 4П/3 + 2П*n, x = 2П/3 + П*n, n ∈ Z

Наименьший положительный корень при n = 0:

x2 = 2П/3 = 120°

Ответ: 90°

13) sin^2 (2x) + sin^2 (4x) + sin^2 (6x) = 1,5

(1-cos 4x)/2 + (1-cos 8x)/2 + (1-cos 12x)/2 = 3/2

Умножаем все на 2

1 - cos 4x + 1 - cos 8x + 1 - cos 12x = 3

- cos 4x - cos 8x - cos 12x = 0

cos 4x + cos 8x + cos 12x = 0

Есть формула:

$cos(12x)+cos(4x)=2cos\frac{12x+4x}{2}*cos\frac{12x-4x}{2}=2cos(8x)*cos(4x)$

Подставляем:

2cos 8x*cos 4x + cos 8x = 0

cos 8x*(2cos 4x + 1) = 0

cos 8x = 0; 8x = П/2+ П*n; x = П/16 + П/8*n = 11,25° + 22,5°*n, n ∈ Z

На промежутке [0; П] есть корни:

x1 = 11,25°; x2 = 11,25° + 22,5° = 33,75°;

x3 = 11,25° + 22,5°*2 = 56,25°; x4 = 11,25° + 22,5°*3 = 78,75°

cos 4x = -1/2; 4x = +-2П/3 + 2П*k; x = +-П/6 + П/2*k = +-30° + 90°*k, k ∈ Z

На промежутке [0; П] есть корни: x5 = 30°; x6 = -30°+90° = 60°

Количество корней на промежутке [0; П]: 6

Ответ: 6