Question

Исследовать ряд на сходимость.

Answer 1

Ответ:   ряд сходится .

$\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, a_{n}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\cdot ln\Big(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\Big)$

Подберём ряд сравнения :     $\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, b_{n}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\Big(\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\Big)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$  .

Этот ряд является обобщённым гармоническим сходящимся рядом , так как показатель степени   $\frac{3}{2}>1$  .   Применим к рядам предельный признак сравнения .

$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\dfrac{1}{n}\cdot ln\Big(1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Big)}{\dfrac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}=\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^{\frac{3}{2}}\cdot ln\Big(1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Big)}{n}=\\\\\\=\Big[\ ln(1+\alpha (x))\sim \alpha (x)\ \ ,\ esli\ \alpha(x)\to 0\ \ ,\ \ \frac{1}{\sqrt{n}}}\to 0\ \ \ pri\ \ n\to \infty \ \Big]=$

$=\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{n^{\frac{1}{2}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{n}}}{1}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{n^{\frac{1}{2}}\cdot 1}{\sqrt{n}}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{1}{2}}}=1\ne 0\ \ \ \Rightarrow$

Ряды ведут себя одинаково, оба сходятся .