Question

При делении числа abc на
3 получили остаток р. Докажите,
что при делении суммы цифр это-
го числа на 3 тоже получится ос-
таток р.

Answer 1

При делении числа $\overline{abc}$ на 3 получили остаток $p$. Тогда:

$\overline{abc}=3n+p,\ n\in\mathbb{Z}$

Распишем число $\overline{abc}$ в виде суммы:

$100a+10b+c=3n+p$

Выполним преобразования:

$99a+9b+a+b+c=3n+p$

$a+b+c=3n-99a-9b+p$

$a+b+c=3(n-33a-3b)+p$

Так как $a$ и $b$ - цифры, то есть натуральные числа, то разность $n-33a-3b$ - целое число, представляющее собой неполное частное при делении суммы $a+b+c$ на 3. Остаток в этом случае равен по-прежнему $p$.