Question

Найдите в градусах сумму корней уравнения (ctg x + 1)(cos x-1)=0 принадлежащих интервалу (100° ;400°)

Answer 1

$(\mathrm{ctg}\,x + 1)(\cos x-1)=0$

Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$\left[\begin{array}{l} \mathrm{ctg}\,x + 1=0 \\ \cos x-1=0\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \mathrm{ctg}\,x =- 1 \\ \cos x=1\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x = 135^\circ+180^\circ n \\ x=360^\circ n\end{array}, \ n\in\mathbb{Z}$

Проведем отбор корней. Для первой серии:

$100^\circ< 135^\circ+180^\circ n < 400^\circ$

$100^\circ-135^\circ< 180^\circ n < 400^\circ-135^\circ$

$-35^\circ< 180^\circ n < 265^\circ$

$-\dfrac{35^\circ}{180^\circ} < n < \dfrac{265^\circ}{180^\circ}$

$n_1=0\Rightarrow x_1=135^\circ+180^\circ \cdot0=\boxed{135^\circ}$

$n_2=1\Rightarrow x_2=135^\circ+180^\circ \cdot1=\boxed{315^\circ}$

Для второй серии:

$100^\circ<360^\circ n<400^\circ$

$\dfrac{100^\circ}{360^\circ} < n<\dfrac{400^\circ}{360^\circ}$

$n_3=1\Rightarrow x_3=360^\circ \cdot1=\boxed{360^\circ}$

Тогда сумма корней, принадлежащих заданному интервалу:

$135^\circ+315^\circ+360^\circ=810^\circ$

Ответ: 810 градусов